Bertrand Russell navázal na G. Frega při zkoumání základů matematiky. Poukázal na to, že Fregova koncepce vykazuje logický rozpor a pokusil se ho odstranit. Během výzkumů základů matematiky byla formulována idea kritické analýzy běžného jazyka na základě matematické logiky a rovněž ideál logicky dokonalého jazyka, s jednoznačnou přesností významů. Analýzou běžného jazyka došel Russell k tomu, že existují zdánlivě smysluplná tvrzení, která však "ve skutečnosti" smysl postrádají a dále postuloval tezi o dezorientujícím charakteru gramatiky přirozených jazyků, který vede k "metafyzickým" omylům. Zároveň Russell došel k poznatku, že logická struktura výroku se často dost zásadně rozchází s jeho viditelnou, gramatickou podobou.
Problém, který Frege řešil rozlišením "významu" a "smyslu", vyřešil Russell úplným vytěsněním některých slov z pole zkoumání s tím, že se nejedná a skutečná "jména".
Logický rozpor známý z ilustrace kréťana Epimenida, který prohlásil, že všichni kréťané jsou lháři, vyřešil zavedením různých hierarchických úrovní jazyka. Tato hierarchizace platí jak pro výroky, tak pro funkce. Paradoxem nekonečného rozvoje těchto hierarchií se však již v této souvislosti nezabýval.
V letech 1910 až 1913 publikoval spolu s Whiteheadem třísvazkovou encyklopedii "Principia Mathematica", v níž programově rekonstruuje matematiku na základě symbolické logiky. Logický schematismus tohoto programu byl pak následně postulován jako logický model poznání skutečnosti a byla rovněž formulována doktrína o struktuře poznání skutečnosti, založená na vlastnostech logiky "Principia Mathematica". Tím se odkryla řada filosofických otázek gnoseologické povahy, úlohy jazyka, otázek pravdivosti a správnosti. Odpovědi na dané otázky, předvedené v určité prvotní formě Russellem pak systematičtěji formuloval L.
Wittgenstein ve svém "Logicko-filosofickém traktátu" a promítly se i do názorů neopozitivistického Vídeňského kruhu.
Elementární výroky, které jsou navzájem nezávislé a nepřevoditelné, a které tvoří jádro systému extenzionálně spojených výroků, byly Russellem nazvány "atomárními větami". Při jejich interpretaci vycházel Russell nejdříve z toho, že tyto atomární věty jsou reálnými atomy poznání. Atomárně extenzionální model pak nepředstavuje ideální schema, ale zobrazuje reálně existující, avšak nikoliv bezprostředně dané struktury poznání. Tato koncepce pak byla přijata Vídeňským kruhem.
Russell sám však ve shodě s Wittgensteinem přešel k další interpretaci, při níž jsou atomární věty chápány jen jako určitá logická nutnost, která vyplývá z daného modelu poznání, jenž je považován za ideální model poznání.
Přesto však došlo zpětně k ontologizaci tohoto ideálního modelu a to v tom smyslu, že byl postulován soulad mezi strukturou logiky a strukturou světa a struktura extenzionální logiky byla postulována jako prvotní, zatímco jí odpovídající struktura světa je projekcí této logiky. Při různých výkladech se však tento vztah opět obrací, jakoby logická struktura poznání byla odvozena z logické, "atomární" struktury světa.
Zatímco Russell uvažoval o aplikaci logické analýzy v dílčích případech, logičtí pozitivisté, kteří na něj navázali pak vytyčili úkol celkové logické rekonstrukce vyjadřování vědeckého poznání prostředky matematické logiky, zaměřené na odhalení bezprostředně daného jako skutečného smyslu pojmů a výroků vědy, a na odstranění metafyzických spekulací z vědeckého poznání.
V knize "Vědecký názor" z r. 1931 se Russell m.j. zabývá i mezemi vědecké metody obecně. Vědeckou metodu charakterizuje třemi "stadii" 1/ pozorováním signifikantních faktů, 2/ formulací pravdivé hypotézy, která by je vysvětlila, 3/ dedukcí důsledků této hypotézy, které by se daly testovat pozorováním. Jsou-li důsledky verifikovány, je hypotéza provizorně uznána za pravdivou.
Ve svém konečném ideálu tvoří podle Russella věda množinu hierarchicky uspořádaných výroků kde nejnižší úroveň se zabývá jednotlivými fakty a nejvyšší úroveň nějakým obecným zákonem, kterým se vše reguluje. Existují zde dvojí logické vazby: směrem nahoru - pomocí indukce, a směrem dolu - pomocí dedukce.
Jediná věda, která se zatím podle Russella přiblížila této dokonalosti je fyzika. V různých stadiích vědeckého bádání vystupují vždy jiná fakta jako signifikantní pro tvorbu nové hypotézy či teorie. Předmětem pozorování se může stát nějaký jednotlivý zákon pouze při umělém zjednodušení okolností, tzn. při experimentu.
Mimo fyziku je úloha indukce mnohem menší, větší úlohu mají pozorování a zákony, které jsou na pozorování bezprostřeně založeny. Přitom i ve fyzice podle Russella naráží tvorba deduktivního systému na jisté meze složitosti, jejichž zvládnutí si nedovede představit např. u fyziologie, i když nepochybuje o tom, že pro všechny vědy existuje stejný ideál.
Veškerá exaktní věda včetně fyziky je podle Russella ovládána myšlenkovou aproximací, kde potíže s přesným vyjádřením nějakého vyplývání jsou zvládnuty aproximativně, s určitou vyjádřitelnou pravděpodobností. Např. už každé měření je uváděno s pravděpodobnou chybou, což je terminus technicus, který má přesný význam. Tím se ovšem fyzika jako exaktní věda liší např. od teologie či politiky, kde si těžko lze představit, že by teolog uváděl svou víru v pochybnost, nebo že by politik končil svůj projev tvrzením o pravděpodobné chybě ve svých názorech. Ve vědě podle Russella není žádné tvrzení zcela zavrženo, ale nahrazeno vždy tvrzením, které je přesnější.
Všechny vědecké zákony jsou podle Russella založeny na indukci, která je založena na pochybnostech, a není schopna skýtat jistotu. Induktivní úsudek je druhu: je-li hypotéza pravdivá, lze pozorovat tyto fakty; jsou-li tyto fakty pozorovatelné, je hypotéza pravděpodobně pravdivá. Podle Russella neexistuje žádná metoda, jak si myslet všechny možné hypotézy. Vědec přijme nejjednodušší hypotézu jako pracovní, a vrátí se ke složitější jenom tehdy, jestliže nové fakty ukáží, že tato hypotéza není adekvátní. Největších nepřesností se lze podle Russella dopustit při indukci typu "prostého výčtu".
Jako další charakteristiku vědecké metody uvádí Russell analýzu. Pro vědecké procedury je podle něj podstatná zásada, že kauzální zákony lze oddělit a pak znovu spojit. Avšak, jak uvádí Russell, neexistuje žádný apriorní důvod, abychom předpokládali, že účinek dvou příčin, které působí simultánně, bude kalkulovatelný z účinků, které mají působit odděleně. Zmíněná zásada sice podle Russella zůstává praktickým a přibližným principem za vhodných okolností, ale nemůže být pokládána za obecnou vlastnost vesmíru.
Podle Russella je veškeré poznání buď poznáním vědeckým, nebo poznáním faktů, které tvoří bázi, nad níž je věda nadstavbou. Takto např. leží v jistém smyslu mimo vědu "historické a zeměpisné detaily".
Pokud máme věřit v něco mimo vlastní zkušenost, pak musíme mít důvod, proč tomu věříme, a tím je podle Russella autorita. Vědecký systém poznatků sám poskytuje nejvěrohodnější autoritu, méně věrohodnou autoritou je už např. profesor na vysoké škole. Také postupujeme-li v čase či prostoru do větší minulosti či vzdálenosti, autorita poznatků a faktů slábne.
Pro pokrok vědy je podle Russella příznačné, že se stále více než s daty setkáváme s inferencemi. Mnohé z našich nevědomých inferencí jsou podle něj podmíněnými reflexy, získanými v dětství a jsou vysoce sporné, jakmile je podrobíme logickému přezkoumání.
Podle Russella se meze vědecké metody jako první staly zřejmé v podle něj nejvyspělejší vědě - fyzice. Tyto meze spatřuje v problémech, které se týkají tří kategorií: 1/pochybnosti o platnosti indukce, 2/ potíže, jak vyvozovat závěry z toho, co se zkušenostně poznává, na to, co se zkušenostně nepoznává, a 3/ připustíme-li existenci inference z toho, co se zkušeností nepoznává, musí mít takové odvozování nesmírně abstraktní charakter a skýtá proto méně informace, než se tomu zdá být, využívá-li se přirozený jazyk.
Indukci zpochybnil už před 200 lety Hume a od té doby se podle Russella podařilo filosofům pouze nesrozumitelně cosi namítat, avšak nikoliv toto zpochybnění vyvrátit. Podle Russella mohou existovat platné důvody pro víru v indukci, ale ve skutečnosti v ně nikdo z nás nemůže věřit a musíme proto připustit, že v teorii zůstává i indukce otevřeným problémem logiky. Protože však tato pochybnost postihuje celek našeho poznání, můžeme to podle Russella pragmatickým způsobem ignorovat.
Dále se pokouší Russell odpovědět na otázku, zda lze nějakým způsobem prokázat, že existují jiné události než sami zakoušíme. Teoretický fyzik by podle něj řekl: "Mé formule se zabývají zjištěním kauzálních zákonů spojujících mé vjemy. Ve formulaci těchto kauzálních zákonů mohu použít hypotetických entit, avšak otázka, zda tyto entity jsou něco víc než hypotetické, je nadbytečná, protože leží mimo oblast možné verifikace."
Russell se však táže, zda existují vůbec takové okolnosti, které nám umožňují, abychom z množiny známých událostí usuzovali na to, že se nějaká jiná událost stala, stává nebo se stane a zda můžeme takový závěr vyvodit alespoň s pravděpodobností větší než 0,5. V opačném případě nemáme oprávnění takovým tvrzením věřit.
K otázce abstrakcí ve fyzice poznamenává, že přirozený jazyk je k abstraktnímu vyjadřování zcela nevhodný, pouze matematika a matematická logika jsou s to podle Russella vyjádřit, co teoretický jazyk míní.
Vědecké myšlení je podle Russella v podstatě silovým myšlením. Jeho účelem je vyzbrojit svého vlastníka mocí. Moc je podle něj kauzálním pojmem a abychom ovládli nějaký materiál, musíme jen porozumět kauzálním zákonům, kterým podléhá. V této Russellově úvaze můžeme spatřovat základ disproporce, která se do dnešních dnů ještě více prohloubila, a sice disproporce mezi mocí, tj. praktickým zvládáním a ovládáním dějů a vědeckým (teoretickým) poznáním, které má tuto moc přinést. Z uvedené úvahy je totiž patrné, že se jedná o teoretické pojednání fyzikální moci. Jinými slovy, všude tam, kde budou existovat podmínky pro tuto fyzikální kauzalitu, bude skutečně takové myšlení triumfovat. Ve skutečnosti však takové podmínky umíme vytvořit jen sporadicky a fyzikální kauzalita se mísí s "kauzalitou" jiných řádů, kde vystupuje množství "subjektů moci" nestejné síly moci. Často se nedá o žádné kauzalitě mluvit, a často se nedá mluvit ani o racionálním jednání typu využití nějaké kauzality k této moci. Moc je určována i jinými skutečnostmi než vědeckým věděním.
Kromě uvedených úvah k mezím vědecké metody, které jak vidíme zdaleka danou problematiku nevyčerpávají se Russell pokusil o proklamaci vědeckých metod jako jedině správných i pro filosofii. V opačném případě totiž podle něj nejde o vědu, ale o motivy odvozené z náboženství a etiky.
Filosofie může hledat svůj základ v přírodních vědách dvojím způsobem. Jednak může obecným výsledkům přírodních věd zjednávat ještě větší obecnost a jednak může studovat jejich metody a snažit se je v nezbytné modifikaci aplikovat.
Podle Russella existují ve světě dva druhy jednoty.
Epistemologická jednota je podmíněna tím, že můj zkušenostní svět je to, co jedna zkušenost vybírá z celkové sumy existence. Druhá jednota je ta, která se projevuje v nadvládě přírodních zákonů v těch částech světa, které zatím přírodní vědy zvládly. Zobecnění založené na jednom či druhém způsobu jednoty by podle Russella bylo klamné.
Užití vědeckých generalizací širšího dosahu jako základu filosofie bychom se proto měly podle Russella vyhnout. K pravdivým výsledkům vedou zpravidla jen tehdy, jestliže generalizace, o něž se opírá, nepotřebují žádných korekcí, a to jak víme je mylná představa.
Problém evoluční filosofie ilustruje Russell na příkladu: "Organický život, říká se nám, se postupně vyvinul od prvoků k filosofům a tento vývoj, jak jsme ujišťováni, je nepochybně krokem vpřed. Je to bohužel filosof a nikoliv prvok, který nás takto ujišťuje, a my nemáme žádnou jistotu..." Jak evoluční filosofie, tak ontologie založená na generalizacích postrádají podle Russella vědeckost.
Obdobně nechvalně se vyslovuje proti etické metafyzice. Etika je podle něj produktem stádového instinktu, tj. instinktu spolupracovat s těmi, kdo tvoří naši vlastní skupinu proti těm, kdo patří k jiným skupinám. Pojetí světa, které je odvozeno z etických pojmů, není nikdy nestranné a proto ani vědecké.
"Filosofie je vždy více či méně zápecnická, více či méně infikována dobovými a místními předsudky" říká Russell.
Filosofii však i přes tuto kritiku zůstávají určitá specifika, kde může být vědecká metoda uplatněna. Jednak filosofie pojednává v obecných výrocích, což má společné s logikou. Za druhé jsou filosofické výroky a priori, tzn. že empirická evidence je nemůže ani prokázat ani vyloučit. Speciální a nahodilá fakta typu událostí běhu dějin, mozkových závitů či očí korýše jsou pro ni dle Russella irelevantní.
Filosofie by se podle Russella měla zaměřit stejně jako to udělala logika na zkoumání logických forem, vytvořit inventář svých možností a repertoár abstraktně objevitelných hypotéz.
Filosofie podle Russella zatím neudělala žádný krok kupředu, když musí každý originální filosof začít vždy od počátku. Vědecká filosofie naopak má navazovat na své předchůdce, pokračovat postupně a zkusmo, aproximativně k pravdě, což je právě triumfem pravé vědy. Podstatou takové filosofie má být analýza, nikoliv syntéza.
Vědecké metody ve filosofii, jak se Russell snažil předpovědět, nás donutí vzdát se naděje vyřešit mnohé problémy tradiční filosofie. Avšak i po tomto zjištění a po předání některých problémů k řešení speciálním vědám, zbyde jádro těch, které budou řešeny opravdu vědecky.
Tato představa vědecké filosofie je zároveň představou logického pozitivismu jako exaktní vědecké metody výstavby vědy. Pro logického pozitivistu je prioritní, že faktuální otázky nelze rozhodnout bez odkazu na pozorování. Pozornost je věnována matematice a logice a důraz je kladen na lingvistické aspekty. Vývoj v principech matematiky podle Russella poukázal na to, že filosofické hádanky mají být řešeny trpělivě a s jasným myšlením. V závěru úvah na toto téma však Russell přiznává, že je tu jistá skutečnost nepříjemná jak pro něj tak pro téměř všechny logické pozitivisty a sice závěr, že nekompromisní empirismus je nepřijatelný. Z konečného počtu pozorování nemůže totiž být vyvozen žádný obecný výrok, jak uznává i Russell, pokud zároveň nepostulujeme nějaký obecný princip inference. Co má být v důsledku toho učiněno, toť podle něj otázka, ve které se sami logičtí pozitivisté liší. Někteří se domnívají, že pravda netkví v souladu s fakty, ale ve vzájemné koherenci, jiní tvrdí, že pravda je pouhým aktem vůle (Reichenbach) a nemusí být přitom ani intelektuálně ospravedlněna. Ještě jiní se snaží zbavit se obecných výroků vůbec. Sám Russell považuje vědu za pravdivou, pokud dospívá k nutným postulátům pomocí analýzy.
V pojetí B. Russella jsou metodologické otázky otázkami exaktních vědeckých procedur, kde jádro tvoří otázky indukce, pravděpodobnostního usuzování a otázky funkce jazyka ve formulaci výsledků vědeckých výzkumů. Vedle těchto otázek však věnoval pozornost i psychologickým, sociologickým a etickým aspektům vědecké činnosti a otázkám vědecké axiologie a odpovědnosti vědců vůči lidstvu. Tyto úvahy však v duchu vědeckého ideálu, který prosazoval, považoval za eseje, které nemají ten vědecký status, jaký přisuzoval exaktně budované vědecké teorii.